研究

通过考虑三维与四维流形上的 SU(2) 规范场论与 ASD（anti-self-dual）方程的解（称为瞬子）构成的模空间构造。此处 ASD 方程为 Yang–Mills 方程的特殊情形。该同调与流形基本群的 SU(2) 表示联系紧密。

入门参考：

1. Floer Homology Group in Yang-Mills theory, Simon K. Donaldson
2. The Geometry of Four-Manifolds, Simon K. Donaldson, Peter B. Kronheimer
3. Lectures of Tomasz S. Mrowka, 王东皞笔记，相关视频
4. The Floer Memorial Volume, 编者 Helmut Hofer, Clifford H. Taubes, Alan Weinstein, Eduard Zehnder
5. Khonovanov homology is an unknot-detector, Peter B. Kronheimer, Tomasz S. Mrowka

也称为 Seiberg-Witten Floer 同调，通过考虑带有 spin^c 结构的三维与四维流形上的 Seiberg-Witten 方程的解空间构造。其中单极子指该方程的解。该同调为 U(1) 规范场论，因其阿贝尔（可交换）性质而在几何上更容易研究。

入门参考：

1. Monopoles and Three-Manifolds, Peter B. Kronheimer, Tomasz S. Mrowka
2. The Seiberg-Witten Equations and Applications to the Topology of Smooth Four-Manifolds, John W. Morgan
3. Lectures on Seiberg-Witten Invariants, John Douglas Moore
4. Lecture videos of Andriy Haydys, 课程介绍
5. Monopoles and lens space surgeries, Peter B. Kronheimer, Tomasz S. Mrowka

通过 Heegaard 分解和曲面对称积（symmetric product）上的拉格朗日 Floer 同调构造。该同调的构造方式容易推广到纽结、缝合三维流形、带边三维流形等情形，并且可以通过取定良好的 Heegaard 分解来用组合计数的方式计算。该同调被 Kutluhan–Lee–Taubes 证明与单极子 Floer 同调同构。另一证明来自于 Colin–Ghiggini–Honda 和 Taubes，表明两种 Floer 同调均与嵌入切触同调（Embedded contact homology, ECH，见下）同构。但四维配边对应的映射还未被证明在同构下相同。

入门参考：

1. References in Peter S. Ozsváth’s homepage
2. Lecture notes on Heegaard Floer homology, Jennifer Hom, 相关视频
3. Holomorphic disks and topological invariants for closed three-manifolds, Peter S. Ozsváth, Zoltán Szabó
4. Holomorphic disks and three-manifolds invariants: Properties and applications, Peter S. Ozsváth, Zoltán Szabó

上述三种 Floer 同调可被推广到纽结、缝合三维流形、带边三维流形等情形，其中 Heegaard Floer 同调更易推广，瞬子 Floer 同调和单极子 Floer 同调更为间接但更易研究配边映射的自然性。特别地，以上三种 Floer 同调的纽结版本为双分次同调群，它们的分次欧拉特征均为亚历山大多项式。Kronheimer–Mrowka 猜想三种 Floer 同调的纽结与缝合流形版本在复系数上同构，其中单极子 Floer 同调与 Heegaard Floer 同调的同构已被 Lekili 和 Baldwin–Sivek 证明。以下文献涵盖不同类型的 Floer 同调，可以挑选阅读。

入门参考：

1. An introduction to knot Floer homology, Ciprian Manolescu
2. Grid Homology for Knots and Links, Peter S. Ozsváth, András I. Stipsicz, Zoltán Szabó
3. Holomorphic discs and sutured manifolds, András Juhász
4. Knot Floer homology detects fibred knots, Yi Ni
5. Knots, sutures, and excision, Peter B. Kronheimer, Tomasz S. Mrowka
6. Bordered Heegaard Floer homology, Robert Lipshitz, Peter S. Ozsváth, Dylan P. Thurston

Floer 同调除了可以在不同的三维流形情形中推广，还可以在其构造中增加更多结构（如 spectra、equivariant、involutive、real）来推广并得到更为精细的拓扑不变量。不同的 Floer 同调因其构造的特性，所适合的推广构造与拓扑应用也各不相同。以下文献涵盖不同类型的 Floer 同调推广，可以挑选阅读。

入门参考：

1. Lectures on the triangulation conjecture, Ciprian Manolescu
2. On the intersection forms of spin four-manifolds with boundary, Ciprian Manolescu
3. Lectures on monopole Floer homology, Francesco Lin
4. Equivariant aspects of singular instanton Floer homology, Aliakbar Daemi, Christopher Scaduto
5. Involutive Heegaard Floer homology, Kristen Hendricks, Ciprian Manolescu
6. Real Heegaard Floer homology, Gary Guth, Ciprian Manolescu
7. Monopole Floer homology and real structures, Jiakai Li

切触结构是三维流形上重要的几何结构，与辛几何和低维拓扑密切相关。通过三维流形 Floer 同调理论，可以为切触结构构造不变量。这些不变量在切触结构的分类和研究中发挥重要作用，特别是紧致（tight）切触结构和 Stein 可填充（Stein-fillable）切触结构。

入门参考：

1. An Introduction to Contact Topology, Hansjörg Geiges
2. On the classification of tight contact structures I, Ko Honda
3. Heegaard Floer homologies and contact structures, Peter Ozsváth, Zoltán Szabó
4. The contact invariant in sutured Floer homology, Ko Honda, William H. Kazez, Gordana Matić
5. Monopoles and contact structures, Peter B. Kronheimer, Tomasz S. Mrowka
6. A contact invariant in sutured monopole homology, John A. Baldwin, Steven Sivek
7. Instanton Floer homology and contact structures, John A. Baldwin, Steven Sivek

通过考虑辛流形上的哈密尔顿系统的周期轨道构造，生成元为作用泛函在环路空间上的临界点。该同调与 Arnold 猜想联系紧密。

入门参考：

1. Morse Theory and Floer Homology, Michèle Audin, Mihai Damian
2. J-holomorphic Curves and Symplectic Topology, Dusa McDuff, Dietmar Salamon

也称为拉格朗日交叉 Floer 同调，通过考虑拉格朗日子流形的交点和伪全纯圆盘构造。该同调理论是 Fukaya 范畴的基础，在镜像对称和低维拓扑中发挥重要作用。

入门参考：

1. A beginner’s introduction to Fukaya categories, Denis Auroux
2. Fukaya Categories and Picard-Lefschetz Theory, Paul Seidel
3. Lectures of Paul Seidel, 王东皞笔记

通过考虑三维切触流形上的嵌入 Reeb 轨道构造，生成元为嵌入 Reeb 轨道。该同调被 Colin–Ghiggini–Honda 和 Taubes 证明与 Heegaard Floer 同调和单极子 Floer 同调同构，使得切触拓扑与三维拓扑的结果可以互相转化。

入门参考：

1. Lecture notes on embedded contact homology, Michael Hutchings
2. Embedded contact homology and its applications, Michael Hutchings

通过考虑链环的立方体分解和 Frobenius 代数的表示构造，得到双分次同调群，其分次欧拉特征等于琼斯多项式。从 Khovanov 同调到 Lee 同调的谱序列中能得到 Rasmussen 不变量，为纽结的 slice 亏格提供了可组合计算的下界。

入门参考：

1. A categorification of the Jones polynomial, Mikhail Khovanov
2. Khovanov homology and the slice genus, Jacob Rasmussen

也称为 sl(n) 同调，其中 n=2 情形对应 Khovanov 同调。通过考虑 sl(n) 量子群的表示和链环的立方体分解构造，为链环提供了更精细的代数不变量。该同调理论通过矩阵分解（matrix factorization）的方法构造，其分次欧拉特征等于 HOMFLY-PT 多项式的特殊情形 sl(n) 多项式。进一步地，存在 HOMFLY-PT 同调（见下）到 Khovanov–Rozansky 同调的谱序列。

入门参考：

1. Matrix factorizations and link homology, Mikhail Khovanov, Lev Rozansky
2. Matrix factorizations and link homology II, Mikhail Khovanov, Lev Rozansky
3. Some differentials on Khovanov–Rozansky homology, Jacob Rasmussen

也称为 HOMFLY-PT 同调，是 HOMFLY-PT 多项式的同调提升。通过考虑更一般的量子群表示构造，统一了 Khovanov 同调和 Khovanov–Rozansky 同调，为链环提供了三分次同调理论，其分次欧拉特征等于 HOMFLY-PT 多项式。该同调理论在代数几何和表示论中有深刻的应用，与 Soergel 双模的 Hochschild 同调密切相关。

入门参考：

1. Triply-graded link homology and Hochschild homology of Soergel bimodules, Eugene Gorsky, Alexei Oblomkov, Jacob Rasmussen, Vivek Shende
2. Hilbert schemes and y-ification of Khovanov–Rozansky homology, Eugene Gorsky, Matthew Hogancamp