这是继试论如何开题和试论如何获得证明思路后“科研随笔”系列的第三篇，很早便想提笔，但生活的变动让我一拖再拖。如今恰逢收获许多潜在与现成的合作者，反倒是比此前更为合适的时刻来写这篇文章。与这一篇一同在我心中酝酿依旧的还有一篇“试论数学品味”，不知道是数日后便写成，还是会又拖上一段时间。

　　首先照例是免责声明，我的讨论局限于当下博士毕业初为博后的阶段，也和我所在的拓扑领域息息相关。我的想法抽象自过往与其他合作者互动的经历和体会，但在此并不指向任一位具体的合作者。即使如此，我想我还是会尽量避免以负面的视角去陈述。

　　从我贴出来的文章来看，除了第一篇，其余均与人合作得出。但这并不全面，因为贴出文章只是一个数学项目（project）比较靠后的部分（往后当然还有修改与正式发表），而对一个问题或者方向的思考则更早展开也更为发散，而且往往是数学领域的主要活动。所以讨论合作，从挂出来文章中作者的数量来看是不够的，而是需要更着眼于达成契合点、持久讨论、克服困难、共同创作等过程。下面我来随着这一大致的流程展开讨论。

　　首先值得关注的是，为什么合作会诞生。我粗略的概括的两种情况是，一群人（n ≥ 2）对同一个问题有共同的兴趣并且在此之上有互补，或者是某些人遇到了技术障碍/瓶颈由另一些人克服/推广。前者适合长期合作（不限于某一篇文章），而后者往往是短期合作（仅限于共同完成一篇文章）。在此提一句数学中一般没有第一作者第二作者的区分，所有作者都会被视为有统一的贡献，即使是一些特殊情况，也只是私下里的评论而不是名义上的差别。

　　在此先谈第二种，它的合作历程相对精练，往往遇到困难的那部分人已经把项目的大框架搭的差不多了，也做了较多的前期准备（包括一些重要的引理和性质），但要实现项目的主要目标还有点困难。这种情况下，通过邮件/会议/邀请报告等方式遇到改进的人（们），发现后者熟悉的技术能较为轻松的解决前者的问题，于是一拍即合，简单互相沟通需要对接的部分后便可以着手论文的写作。这里提到的简单是指流程上的而不是时间上的，由于数学工作者们在不同的城市，也各自有其他的活动（甚至别的合作项目），所以即使达成了大致可以解决的共识之后，交流访问（即使是约 zoom 在线讨论）一来一回可能也要花费数月。但总体而言，由于合作达成的瞬间就已经迈过了契合点到接近于克服困难，所以整个合作活动还是进展相对较快的。由此的特点（不好说是优点还是缺点）则是，双方可能互相不完全了解对方工作部分的细节，只是知道原则上可行，也确实愿意相信。当然在审阅修改文章的过程中，更为合适的做法是至少粗略过一遍对方完成工作的部分，否则一旦那个地方假定和结论没拼上，造成伪证可就是学术事故了，这是一个成熟的数学工作者不应该犯的错误。

　　由于上述特点，此处的合作往往终结于文章的发表。虽然可能在下一个课题遇到障碍时又会激发出新的合作，但这种情况我觉得需要重新计算合作周期。不过还有一种可能，在第二种合作结束后，双方互相都有所了解，并也愿意进一步了解对方的工作，且当下问题的结束立刻导出一些有趣的未来方向，那么第一种合作的苗头便会显露出来。这种情况下，如果至少某一方能将对方工作的细节都搞清楚，并用自己的框架去重新理解，甚至给出新的观察与前进方向，而另一方也对自己工作的技术细节了如指掌并善于向合作方介绍，那么共同兴趣和互补这两点就都能被满足，第一种合作也便诞生了。

　　这种进入第一种合作的方式相对比较平滑，完成一个项目之后又可以接着做下一个项目，且随着合作的密切，双方更为了解对方的技术细节（虽然到达专精还是有些困难，但高于其他数学工作者还是相对容易的），在此之中如果又能不断诞生阶段性成果，那么长期而稳定的合作关系便形成了，这种合作模式会督促和激励着双方更快地前进。

　　第一种合作往往从讨论开始，讨论的内容可以是某个问题、某个方向、某个技术、某个猜想，甚至可以是某个领域的大背景。讨论的展开可以是线下的（会议、访问、聚餐），也可以是线上的（邮件、zoom、微信）。讨论的深度和广度往往取决于合作者之间的熟悉程度和讨论的话题本身。在讨论中，双方会互相分享自己的想法、困惑、进展，也会互相提出问题和建议。这种讨论往往不是一次性的，而是会持续一段时间，甚至成为合作的基础。

　　讨论的一个重要环节是找到契合点，即双方都感兴趣且能够互补的方向。这个契合点可能是一个具体的问题，也可能是一个更广泛的研究方向。找到契合点后，双方可以开始更深入的讨论，甚至开始共同思考如何解决这个问题或推进这个方向。

　　在讨论和思考的过程中，双方会遇到各种困难和挑战。这时，合作的优势就体现出来了。不同的人有不同的背景、经验和视角，能够从不同的角度思考问题，提供不同的解决思路。有时候，一个人卡住的地方，另一个人可能恰好有相关的经验或技术能够帮助突破。这种互补性使得合作能够产生比单打独斗更好的效果。

　　当然，合作也不是一帆风顺的。在讨论和工作的过程中，双方可能会有不同的观点、不同的优先级、不同的工作节奏。这时候，沟通和理解就显得尤为重要。双方需要互相尊重、互相理解，在分歧中寻找共识，在共识中推进工作。

　　关于讨论的频率和方式，我觉得没有固定的模式，应该根据合作的具体情况和双方的习惯来调整。有些合作者喜欢频繁的讨论，有些则更喜欢各自思考一段时间后再讨论。有些合作者喜欢面对面的讨论，有些则更喜欢通过邮件或在线会议。重要的是找到适合双方的方式，让讨论能够有效地推进工作。

　　其二有关我对合作者人数的理解，或者说讨论中人数的理解。一个简单的数学事实，两个人讨论，只需要双方明白对方在做什么，而三个人讨论，由于同时只能有一个人表达（又是线性的限制），而互相深入了解想法需要反复地反馈与重述（甚至是自己表达之后的立刻重述）。所以最后容易演变成，对于某个话题，其中两个人更为熟悉，高频互动，而第三个人则暂时成为纯听众（甚至开始摸鱼）。由于三个人中有三组两个人，整体的沟通效率实际上是两人交流的三分之一。当然由于合作的一些优势，我觉得合作带来的效率是超出一个人思考的三倍的，所以总的来说三个人的讨论或许也还有裨益。但更多的人之间的讨论，效率便更为降低，其实反而不如一个人思考。四个人的情况，一个补救的办法是二加二，即两组两个人互相私下讨论，然后向另外一组表达总结后的想法。这样平均而言是略多于三分之一。总的来说，我认为数学的合作中，两到三个人是比较合适的，四个人是极限，五个人以上，或许更适合上文提到的解决困难式的短期合作，或者是需要一起写程序的大型工程（数学论文中写程序不多，但也会写程序做一些计算，作为启发性的例子）。

　　最后再来谈谈合作中写文章的环节。第二种合作中，往往便由提出问题框架的那一方完成论文的大致结构，让解决问题的那一方完善困难相关的那一章节。第一种合作中则更为随意，往往文章从初写到成稿都有两方或多方的参与。在这种情况下，我个人实践比较合适的方式是，合作中的各人完成自己擅长的章节，然后由一个人撰写第一章引论和第二章预备知识、统一记号与整体风格，其他人再回看对应的章节被修改的部分提出进一步的修改。这一流程可以展开不止一次，比如第一次整合时先添上预备知识，第二次整合时再填上引论和摘要，最后再各自整体过一遍找找错别字和细节上的问题。虽然整个流程相比一个人写复杂了不少，但是一方面能够互相督促，另一方面也能够互相检查，甚至还能在检查中顺便理解口头讨论中没讲明白的部分，为未来进一步的合作讨论做铺垫。不过总的来说，写文章的过程还是很痛苦的，改文章更痛苦，不论是一个人还是一些人。这种阵痛，或许也能靠合作者之间的交流中适当分担一些吧。不过好消息是，不是所有的合作都是能进展到写文章这一步的，而写文章之前的部分往往还是相比而言不那么痛苦而让人有激情的。到了写文章的地步，说明合作卓有成效，忍一忍就能出个成果，或许心理上也比较容易能接受吧。话说我是不是应该在某一时刻也写一篇“试论如何写论文”，但我往往会等到我觉得自己对这一话题比较有发言权再提笔，毕竟这一系列的风格还是倾向于经验分享而不是暴论输出。

　　上述基本把我对合作中的体会写了一写，这两年多的合作时光中，有许多合作中细小有趣的点，有些一下子没有想到，留到未来再补上吧。

21:34 2022年11月11日
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