Math 55A

Math 55A 是哈佛大学为一年级本科生开设的荣誉代数课程，提供抽象代数的严格介绍，包括群论和线性代数。本课程涵盖相当于 Math 25a 和 Math 122 的内容，为学生后续学习 Math 123 以及数论和代数的高级课程做准备。

课程信息

课程名称： 代数荣誉课程（Studies in Algebra and Group Theory）

课程编号： Math 55A

授课教师： Denis Auroux

课程内容：

本课程提供抽象代数的严格介绍，包括群论和线性代数。课程形式要求较低，但需要学生投入大量时间学习，对数学有浓厚兴趣，并熟悉证明和抽象推理。

课程内容：

本课程涵盖以下主要内容：

• 群论：群、子群、同态、商群、对称群
• 线性代数：向量空间、线性映射、矩阵、特征值和特征向量
• 线性算子的标准形式：Jordan 标准型、特征多项式和最小多项式
• 双线性形式：内积、正交性、谱定理
• 张量积：张量代数、对称代数和外代数
• 模论：环上的模、有限生成阿贝尔群的分类
• 群作用：轨道、稳定子、Burnside 引理、共轭类
• Sylow 定理及其应用
• 群表示论：有限群的表示、不可约表示、特征标理论

参考教材：

主要参考：

• Linear Algebra Done Right, Sheldon Axler
• Algebra, Michael Artin

其他推荐参考：

• Abstract Algebra, David S. Dummit, Richard M. Foote
• Naive Set Theory, Paul Halmos
• Finite-Dimensional Vector Spaces, Paul Halmos
• Representation Theory: A First Course, William Fulton, Joe Harris
• Linear Representations of Finite Groups, Jean-Pierre Serre

课程大纲：

• 第 1-5 周：群论基础（群、子群、同态、商群、对称群）
• 第 6-12 周：线性代数（向量空间、线性映射、特征值、Jordan 标准型）
• 第 13 周：期中考试 1
• 第 14-20 周：双线性形式、内积、谱定理、张量积
• 第 21-26 周：模论、群作用、Sylow 定理
• 第 27 周：期中考试 2
• 第 28-37 周：群表示论（表示、不可约表示、特征标理论）

先修要求： 课程形式要求较低，但需要学生投入大量时间学习，对数学有浓厚兴趣，并熟悉证明和抽象推理。建议学生熟悉集合论记号和语言，以及基本的证明技巧。

注：本课程信息基于哈佛大学相关课程内容整理。