纽结、SU(2)与枕形曲面
这是叶帆在北京大学开授的短期课程。
课程信息
课程名称： 纽结、SU(2)与枕形曲面（Knots, SU(2), and the pillowcase）
授课教师： 叶帆（Harvard University）
课程时间：
- 第一讲：12 月 29 日（星期一）下午 2:00-4:00
- 第二讲：12 月 30 日（星期二）下午 2:00-4:00
- 第三讲：12 月 31 日（星期三）下午 2:00-4:00
课程地点： 智华楼丁石孙教室
课程摘要
Kirby 问题列表中的问题 3.105(A) 询问：除了 S³ 之外的每个紧致 3-流形 M 是否都有非平凡的表示 π₁(M)→SU(2)，以及当 π₁(M) 是非阿贝尔时，这样的表示何时可以有非阿贝尔像——这样的流形称为 SU(2) 非阿贝尔流形。第一个问题的肯定答案将为 3D Poincaré 猜想提供另一种证明。Kronheimer–Mrowka 证明了对于非平凡纽结和有理斜率 r∈[0,2]，Dehn 手术流形 S³_r(K) 总是 SU(2) 非阿贝尔的，Zentner 证明了 S³ 中两个非平凡纽结的拼接是 SU(2) 非阿贝尔的。这两个结果都依赖于瞬子 Floer 同调，也依赖于对纽结补的边界环面的 SU(2) 特征簇中的子流形的研究，该特征簇同胚于枕形曲面。后来，通过许多人在瞬子 Floer 同调方面的工作，非平凡纽结（除右三叶结外）的 SU(2) 非阿贝尔斜率扩展到所有有理 r=p/q∈(2,6)，其中 p=x^e 或 2x^e，x 为素数，e 为自然数。对于右三叶结，SU(2) 非阿贝尔斜率的唯一例外是 6−1/n 的形式，其中 n 为正整数，这可以直接从枕形曲面中读出。
在第一讲中，我将回顾上述结果的背景并介绍枕形曲面。在第二讲中，我将讨论通过瞬子 Floer 同调证明 SU(2) 非阿贝尔斜率的策略，并介绍瞬子 L-空间纽结。在第三讲中，我将介绍在枕形曲面上理解瞬子 Floer 同调的手术精确三角的图示方法，并提供 S³ 中纽结的手术流形的瞬子 Floer 同调的维数公式。在整个讲座系列中，我将把瞬子 Floer 同调视为黑箱并专注于其性质，因此本短期课程对只熟悉基本群、普通同调理论和纽结手术的听众友好。