微分几何

微分几何是研究流形上的几何结构的数学分支，是理解 Floer 同调的基础。本课程介绍流形、切丛、黎曼度量、曲率等基本概念，为后续学习拓扑和几何打下基础。

课程信息

课程名称： 微分几何（Differential Geometry）

课程编号： Math230A

授课教师： 叶帆

课程内容：

本课程涵盖以下主要内容：

• 流形的基本概念
• 切丛和余切丛
• 黎曼度量
• 联络和曲率
• 测地线
• 子流形理论

参考教材：

主要参考：

• Differential Geometry: Bundles, Connections, Metrics and Curvature, Chapters 1-16, Clifford H. Taubes

其他推荐参考：

• An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, William M. Boothby
• Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Frank W. Warner
• Differential Forms in Algebraic Topology, Raoul Bott, Loring W. Tu
• Vector Bundles & K-Theory, Allen Hatcher

课程大纲：

• 第 1-2 周：光滑流形与李群 [Taubes, Chapters 1-2]
• 第 3-4 周：向量丛 [Taubes, Chapters 3-6]
• 第 5-6 周：度量和测地线 [Taubes, Chapters 7-9]
• 第 7-8 周：de Rham 上同调与协变导数 [Taubes, Chapter 12]
• 第 9-10 周：Levi-Civita 联络与黎曼曲率张量 [Taubes, Chapters 15, 14.1]
• 第 11-13 周：示性类与主丛 [Taubes, Chapters 14, 10-11]
• 第 14 周：Yang-Mills 方程及其应用

先修要求： 本科水平的流形理解。本科生可以阅读 Cliff 教材的第一章作为准备。

课程历史

注：本课程信息基于哈佛大学相关课程内容整理。